Derivación y Funciones Holomorfas

Derivación y funciones holomorfas.

Las funciones holomorfas son el principal objeto de estudio del Análisis complejo; son funciones que se definen sobre un subconjunto abierto del plano complejo C y con valores en C, que además son complejo-diferenciables en cada punto. Esta condición es mucho más fuerte que la diferenciabilidad en caso real e implica que la función es infinitamente diferenciable y que puede ser descrita mediante su serie de Taylor.
El término función analítica se usa a menudo en vez del de "función holomorfa", especialmente para cuando se trata de la restricción a los números reales de una función holomorfa. Una función que sea holomorfa sobre todo el plano complejo se dice función entera. La frase "holomorfa en un punto a" significa no sólo diferenciable en a, sino diferenciable en todo un disco abierto centrado en a, en el plano complejo.
Todas las funciones polinómicas en z con coeficientes complejos son holomorfas sobre C, y también lo son las funciones trigonométricas de z y la función exponencial. (Las funciones trigonométricas están de hecho relacionadas estrechamente con esta última y pueden definirse a partir de ella usando la fórmula de Euler). La rama principal de la función logaritmo es holomorfa sobre el conjunto C - {z ∈ R : z ≤ 0}. La función raíz cuadrada se puede definir como : y es por tanto allá donde lo sea la función logaritmo ln(z). La función 1/z es holomorfa sobre {z : z ≠ 0}. Las funciones trigonométricas inversas tienen cortes y son holomorfas en todos los puntos excepto en estos cortes.

Derivación de funciones complejas y funciones holomorfas




Transformaciones conformes

En matemáticas, una transformación conforme es una función que preserva ángulos. En el caso más común la función es entre dominios del plano complejo.
Análisis complejo [editar]
En el análisis complejo, una transformación conforme es una función , diferenciable en , que preserva el ángulo que dos curvas
y , diferenciables en y , respectivamente, forman entre sí en z0. Es decir f es conforme en z0 cuando se verifica
,
siempre y cuando y sean vectores tangentes no nulos.
Una definición equivalente es que una función es conforme si y solamente si es holomorfa o antiholomorfa (es decir conjugada de una holomorfa) y su derivada es por todas partes diferente a cero. El teorema de representación conforme de Riemann establece que cualquiera subconjunto propio abierto y simplemente conexo de C admite una función conforme sobre un disco unitario abierto en C.
Una función del plano complejo extendido (que es equivalente conforme a una esfera) sobre sí mismo es conforme (si y sólo si) es una transformación de Moebius o su conjugada.

Funciones armónicas

En matemáticas, una función armónica es una función dos veces continuamente derivable f : D → R (donde D es un subconjunto abierto de Rn) que cumple la ecuación de Laplace, i.e.

en D. Esto se suele escribir como
o también como
Ejemplos de funciones armónicas de dos variables
• La parte real e imaginaria de cualquier función holomorfa
• f(x1, x2) = ln(x12 + x22)
definida en R2 \ {0} (por ejemplo el potencial eléctrico debido a una carga en línea, y el potencial gravitatorio debido a una masa cilíndrica)
• Si u es una función armónica y le aplicamos una transformación conforme del plano, continúa siendo armónica.
Ejemplos de funciones armónicas de n variables
• Las funciones afines, en particular la función constante.
• La función
con .
Conexiones con el análisis de funciones complejas de variable compleja
La parte real e imaginaria de cualquier función holomorfa son funciones armónicas. Esto se deriva de que toda función holomorfa verifica las ecuaciones de Cauchy-Riemann. En tal caso se dice que son armónicas conjugadas.
Propiedades de las funciones armónicas
Algunas propiedades importantes de las funciones armónicas se pueden deducir de la ecuación de Laplace.
El teorema de regularidad para las funciones armónicas
Las funciones armónicas son infinitamente derivables. De hecho, son funciones analíticas.
El principio del máximo
Las funciones armónicas satisfacen el siguiente principio del máximo (conocido como el principio débil del máximo): si K es cualquier subconjunto compacto de D, entonces f, en K, alcanza sus máximo y mínimo en la frontera de K.
Si además D es conexo, se tiene que f no puede tener máximos o mínimos locales, excepto si f es constante (conocido como el principio fuerte del máximo).
El teorema de la media aritmética [editar]
El teorema recibe otros nombres como propiedad de la media de las funciones armónicas. Establece que si tenemos una función armónica definida en una bola, podemos determinar el valor de la función en el centro de la bola a partir de la media de los valores de la función en su superficie. Es más:
Si B(x,r) es una bola de centro x y radio r contenida completamente en D, entonces el valor de f(x) en el centro de la bola está dado por el valor medio de f en la superficie de la bola; este valor medio es también igual al valor medio de f en el interior de la bola. En otras palabras

donde ωn es el área de la superficie de la bola unidad en n dimensiones.
El terorema de Liouville
Si f es una función armónica definida en todo Rn que está acotada superior o inferiormente, entonces f es constante (compárese con el Teorema de Liouville para funciones de una variable compleja).

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